在时序预测研究中，傅里叶变换（FT）长期作为频率分析的核心工具，但它无法同时兼顾时域与频域的局部化信息——这一缺陷成为多尺度周期检测的关键瓶颈。小波变换（Wavelet Transform，WT）通过“伸缩平移”的灵活基函数设计，完美弥补了这一不足，成为捕捉时序数据全局趋势与局部细节的核心技术。本文将从数学本质出发，系统解析小波变换的原理、性质及在时序预测中的应用，为TimesNet模型的多尺度周期检测融合提供理论支撑。
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1 从傅里叶变换到小波变换
要理解小波变换的价值，需先明确傅里叶变换的局限性。
1.1 傅里叶变换的缺陷
对于平方可积信号f(t) \in L^2(\mathbb{R})（时序数据常用假设），连续傅里叶变换（CFT）定义为：
\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbb{R}} f(t) \text{e}^{-\text{i}\omega t} \text{d}t其中\omega为角频率，\text{e}^{-\text{i}\omega t} = \cos(\omega t) - \text{i}\sin(\omega t)是全域振荡的基函数。其逆变换为：
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\omega) \text{e}^{\text{i}\omega t} \text{d}\omega傅里叶变换的核心问题在于时域局部化缺失：
\hat{f}(\omega)仅反映信号中频率\omega的整体强度，无法告知该频率成分在哪个时间点出现（例如，一个包含1Hz和5Hz的信号，FT无法区分“1Hz先出现、5Hz后出现”与“两者同时出现”的差异）。- 对于突变信号（如时序数据中的异常点、周期切换点），FT的基函数因全域振荡，会产生严重的“频谱泄漏”，导致频率分析失真。
1.2 小波变换的核心思想
小波变换的本质是用局部化的基函数（小波） 替代傅里叶变换的全域基函数。这类基函数满足两个关键条件：
- 零均值性（保证振荡性）：
\int_{\mathbb{R}} \psi(t) \text{d}t = 0，即小波函数在时域内正负振荡抵消，仅对局部信号变化敏感。 - 快速衰减性（保证局部性）：
\psi(t)在时域内仅在有限区间内有非零值（或快速趋于零），例如高斯小波\psi(t) = (1 - t^2)\text{e}^{\frac{-t^2}2}。
通过伸缩（尺度）和平移操作，可从母小波\psi(t)生成一组覆盖全时域-频域的基函数：
\psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi\left( \frac{t - b}{a} \right)其中各参数的详细解释如下：
a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}为尺度参数：控制小波的“宽度”与频率——|a|越小，小波越窄，对应高频（捕捉局部细节，如短期波动）；|a|越大，小波越宽，对应低频（捕捉全局趋势，如长期周期）；b \in \mathbb{R}为平移参数：控制小波在时域的位置，用于定位信号特征的出现时间；\frac{1}{\sqrt{|a|}}为能量归一化因子：保证不同尺度下小波的能量恒定（\int_{\mathbb{R}} |\psi_{a,b}(t)|^2 \text{d}t = \int_{\mathbb{R}} |\psi(t)|^2 \text{d}t），避免尺度变化导致系数幅值失真。
2 小波变换的定义
根据尺度与平移参数的取值方式，小波变换分为连续小波变换与离散小波变换，前者侧重理论分析，后者侧重工程应用。
2.1 连续小波变换
对于信号f(t) \in L^2(\mathbb{R})，其连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）定义为信号与小波基的内积：
W_f(a,b) = \langle f, \psi_{a,b} \rangle = \int_{\mathbb{R}} f(t) \cdot \overline{\psi_{a,b}(t)} \text{d}t = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{\mathbb{R}} f(t) \cdot \overline{\psi\left( \frac{t - b}{a} \right)} \text{d}t其中“\overline{\cdot}”表示复共轭（实小波可省略）。
CWT的物理意义：W_f(a,b)的幅值越大，说明信号f(t)在尺度a（对应频率\omega \propto \frac{1}{a}）和位置b处的特征与小波\psi_{a,b}(t)越相似。【例】当a较小时（高频），W_f(a,b)大值对应信号的局部突变（如时序异常点）；当a较大时（低频），W_f(a,b)大值对应信号的全局趋势（如长期周期）。
CWT的逆变换（重构）：若小波满足可容许性条件（\int_{\mathbb{R}} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} \text{d}\omega < \infty，保证基函数的完备性），则信号可由CWT重构：
f(t) = \frac{1}{C_{\psi}} \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R} \setminus \{0\}} W_f(a,b) \cdot \psi_{a,b}(t) \cdot \frac{\text{d}a \text{d}b}{a^2}其中C_{\psi} = \int_{\mathbb{R}} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{|\omega|} \text{d}\omega为小波的容许常数。
2.2 离散小波变换
CWT的尺度a和平移b连续取值，导致变换结果存在严重冗余（数据量远大于原信号），无法直接用于工程计算。离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）通过对a和b进行离散采样，解决了冗余问题，有效实现降维与高效计算，成为时序数据处理的核心工具。
2.2.1 二进离散采样
二进离散采样是最常用的离散策略，用于保证基函数的正交性（减少冗余）和覆盖性（不遗漏信息），通常采用：
a = a_0^j,\ b = b_0 \cdot a_0^j \cdot k \quad (j, k \in \mathbb{Z})其中a_0 > 1（通常取 a_0 = 2，即二进尺度），b_0为基平移步长（通常取b_0 = 1）。当a_0 = 2、b_0 = 1时，离散小波基简化为：
\psi_{j,k}(t) = 2^{-\frac{j}{2}} \psi\left( 2^{-j} t - k \right)此时：
- 尺度
j对应频率：\omega_j \propto 2^j（j增大，频率降低，尺度变粗）。 - 平移
k对应时域位置：t_k = k \cdot 2^j（j增大，平移步长增大，时域分辨率降低）。
2.2.2 多分辨率分析
离散小波变换的本质是通过多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）将信号分解为“低频逼近”与“高频细节”的叠加，这一过程完美匹配时序预测的“多尺度周期检测”需求。
MRA的核心思想：将信号空间L^2(\mathbb{R})分解为一系列嵌套的子空间\{V_j\}_{j \in \mathbb{Z}}，满足：
\cdots \subset V_{2} \subset V_{1} \subset V_{0} \subset V_{-1} \subset V_{-2} \subset \cdots其中：
V_j为尺度j的逼近空间：包含信号在尺度j下的低频成分（全局趋势）。- 若
f(t) \in V_j，则f(2t) \in V_{j-1}（尺度伸缩对应空间嵌套）。 - 所有子空间的并集稠密于
L^2(\mathbb{R})（\overline{\bigcup_{j \in \mathbb{Z}} V_j} = L^2(\mathbb{R})），交集为零空间（\bigcap_{j \in \mathbb{Z}} V_j = \{0\}），保证无信息丢失。
为分离不同尺度的细节，定义细节空间W_j为V_j在V_{j-1}中的正交补空间：
V_{j-1} = V_j \oplus W_j, \quad V_j \perp W_j其中W_j包含信号在尺度j下的高频成分（局部细节）。由此可递归得到信号的多尺度分解：
V_0 = V_1 \oplus W_1 = V_2 \oplus W_2 \oplus W_1 = \cdots = V_N \oplus W_N \oplus W_{N-1} \oplus \cdots \oplus W_1对应到离散信号（时序数据常用），若原信号属于V_0，则其DWT分解为：
f = A_N + D_N + D_{N-1} + \cdots + D_1其中：
A_N：第N层低频逼近系数（对应全局趋势，如长期周期）；D_j（j=1,2,\cdots,N）：第j层高频细节系数（对应局部波动，如短期周期、异常点）。
这一分解过程的计算可通过双正交滤波器组高效实现（Mallat算法），无需直接计算积分，复杂度仅为O(N)（N为信号长度），为大规模时序数据处理提供可能。
3 小波变换的关键性质
小波变换的4个核心性质，使其成为TimesNet模型“多尺度周期检测融合”的理想工具，尤其能与FFT形成互补，非常适配时序预测。
3.1 时域-频域双局部性
傅里叶变换仅能在频域局部化（时域全域），而小波变换通过伸缩平移实现时域与频域的双局部化：
- 时域局部性：由小波
\psi(t)的快速衰减性保证，其有效支撑集（非零值区间）长度\Delta t有限。 - 频域局部性：由小波的傅里叶变换
\hat{\psi}(\omega)的快速衰减性保证，其有效支撑集长度\Delta \omega有限。 - 不确定性原理约束：
\Delta t \cdot \Delta \omega \geq \frac12，但小波可通过调整形状（如墨西哥帽小波、Daubechies小波）在“时域分辨率”与“频域分辨率”间灵活权衡——高频时（a小）时域分辨率高、频域分辨率低（适合捕捉短期突变），低频时（a大）频域分辨率高、时域分辨率低（适合捕捉长期周期）。
这一性质完美匹配时序预测的需求：FFT负责捕捉全局周期（频域分辨率高），小波变换负责定位周期的时域分布（时域分辨率高），两者结合可实现“全局周期+局部细节”的完整分析。
3.2 多分辨率特性
通过MRA的分层分解，小波变换可在不同尺度下分析信号：
- 高层细节
D_1, D_2（小j）：高频成分，对应时序数据的短期波动（如日内周期、突发噪声）。 - 低层细节
D_{N-1}, D_N（大j）：中频成分，对应时序数据的中期周期（如周度周期、月度周期）。 - 低频逼近
A_N：低频成分，对应时序数据的长期趋势（如年度周期、全局趋势）。
这种多分辨率特性可直接支撑“多尺度周期检测”——无需依赖单一尺度的周期假设，而是通过不同层的系数提取多尺度周期模式。
3.3 稀疏表示性
对于时序数据中的局部突变（如异常点、周期切换点）或分段平滑信号，小波变换的系数具有稀疏性：
- 平滑区域：小波系数幅值小（信号无显著变化，与小波基的相似性低）。
- 突变区域：小波系数幅值大（信号剧烈变化，与小波基的相似性高）。
这种稀疏性可用于：
- 噪声去除：将小幅值系数置零（噪声通常对应小系数），再通过逆变换重构信号，保留有效周期特征；
- 周期显著性评估：大幅值系数对应的尺度与位置，即为信号的显著周期及其时域分布。（可用于实现“频率掩码机制”，增强重要频率成分的权重）
3.4 平移不变性
部分小波
传统DWT（如基于Daubechies小波的正交DWT）因采样平移步长随尺度增大而增大，存在平移敏感性（信号微小平移导致系数大幅变化）。而双正交小波或冗余小波变换（如小波包变换）可通过放松正交性，实现近似的平移不变性——信号平移时，系数的相对分布不变，仅整体平移。
这一性质对周期检测的鲁棒性至关重要：时序数据的轻微时间偏移（如采集延迟）不会导致周期判断失效，可提升“周期一致性验证”的可靠性。
4 小波变换在时序预测中的应用
小波变换的特性可直接支撑TimesNet模型今后的改进，以下从具体应用场景展开。
4.1 多尺度周期检测
FFT的优势是全局频率分辨率高，可准确捕捉信号的主周期（如年度周期），但无法定位周期的时域变化（如某季度周期消失）；小波变换的优势是时域-频域双局部化，可捕捉周期的局部变化（如短期周期的出现/消失）。
两者结合的具体方案：
- 用FFT分析信号的全局频率谱
\hat{f}(\omega)，确定候选主周期\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_k。 - 对信号进行DWT分解，得到多尺度细节系数
D_1 \sim D_N。 - 计算各细节层
D_j对应的频率范围（\omega_j \propto 2^j），将FFT得到的主周期\omega_m匹配到对应的细节层。 - 分析匹配层的小波系数幅值分布，确定主周期在时域的有效区间（如
D_3层系数大值对应季度周期的活跃时间段），实现“全局周期+局部时域定位”的融合检测。
4.2 频率掩码与周期权重
基于小波系数的显著性评估
小波系数的幅值直接反映对应尺度-位置特征的显著性，可用于设计“可学习的频率掩码机制”：
- 对DWT分解后的各层系数
A_N, D_N, \cdots, D_1，计算每层的 “能量归一化幅值”，如下所示，其中S_j表示第j层细节（对应某一频率范围）的能量占比，即该频率的显著性权重：
S_j = \frac{\sum\limits_{k} |D_j(k)|^2}{\sum\limits_{m=1}^N \sum_{k} |D_m(k)|^2 + |A_N(k)|^2} \quad (j=1,\cdots,N)- 将
S_j作为频率掩码的初始权重，再通过神经网络（如TimesNet的Inception块）学习调整，增强重要频率（高S_j）的贡献，抑制噪声频率（低S_j）。由此实现“频率掩码机制”和“置信度加权”。
4.3 周期一致性验证
为提升周期检测的鲁棒性，可采用多小波基交叉验证策略，利用不同小波的特性互补：
- 选择3种典型小波基，如Daubechies-4小波（正交，计算高效）、Symlet-8小波（近似对称，平移敏感性低）、Coiflet-6小波（逼近系数精度高）等。
- 用3种小波分别对信号进行DWT分解，得到3组多尺度系数。
- 对每组系数，提取显著周期（基于系数幅值），并计算周期的一致性得分，如下所示，其中
\Omega_i为第i种小波检测到的显著周期集合，I(\cdot)为指示函数（存在则为1，否则为0）：
C(\omega) = \frac{1}{3} \sum\limits_{i=1}^3 I\left( \omega \in \Omega_i \right)- 保留
C(\omega) \geq 2的周期（至少两种小波验证通过），剔除仅单种小波检测到的周期（可能为噪声），提升周期检测的鲁棒性。
5 参考资料
经典教材：
- Ingrid Daubechies. 《Ten Lectures on Wavelets》（小波分析的奠基性著作，详细推导MRA与DWT的数学理论）
- C. K. Chui. 《Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications》（系统介绍小波变换的工程应用，含时序分析案例）
- Robert H. Shumway, David S. Stoffer. 《Time Series Analysis and Its Applications》（时序分析权威教材，第4章专门介绍小波在时序预测中的应用）。
关键论文：
- Mallat, S. G. 《A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation》（提出MRA框架与Mallat算法，奠定 DWT 的工程应用基础）
- Donoho, D. L. 《De-noising by Soft-thresholding》（基于小波系数稀疏性的噪声去除方法，为周期检测的预处理提供思路）
工程指南：
- MATLAB Wavelet Toolbox Documentation（含小波分解、重构的可视化案例，帮助直观理解多尺度特性）
- Python pywt库官方教程（开源工具，适合快速验证小波变换的时序分析效果）
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