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1 连续型随机变量密度函数

【例】若$X\sim f(x)=\begin{cases}\frac{x}{8}, & 0 \lt x \lt 4 \\0, & 其他\end{cases}$，$Y=X^3$，求$f_Y(y)$

【解】设$y=g(x)=x^3$，$x=y^{\frac{1}{3}}=h(y)$

由$g'(x)=3x^2>0$可知$y=g(x)$严格单调，且其反函数$h(y)=y^{\frac13}$存在且连续，则有$f_Y(y)=h'(y)f_X(h(y))=\frac13y^{-\frac23}f_X(y^{\frac13})$

故代入可得$f_Y(y)=\begin{cases} \frac{1}{24}y^{-\frac13}, & 0 \lt y \lt 64 \\0, & 其他\end{cases}$

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2 在区间上随机取一数

【例】在区间$(-1,2)$上随机取一数$X$，试写出$X$的概率密度；并求$P\{X>0\}$的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。

【例】$X\sim U(-1,2)$，则$f(x)=\begin{cases}\frac13, & -1 \lt x \lt 2 \\0, & 其他\end{cases}$可得$P\{X>0\}=\frac23$

设10个数中有$Y$个数大于0，则$Y\sim B(10,\frac23)$，故$P\{Y=2\}=\text{C}_{10}^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^8$

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3 吸烟群体联合分布和边际分布

【例】设一群体80%的人不吸烟，15%的人少量吸烟，5%的人吸烟较多，且已知近期他们患呼吸道疾病的概率分别为5%、25%、70%。记$X=\begin{cases}0, & 不吸烟 \\1, & 少量吸烟 \\2, & 吸烟较多\end{cases}$，$Y=\begin{cases}1, & 患病 \\0, & 不患病\end{cases}$，求：
（1）$(X,Y)$的联合分布和边际分布；
（2）患病人中吸烟的概率。

【解】
（1）由题意可得：$\begin{matrix} X & 0 & 1 & 2\\ P & 0.80 & 0.15 & 0.05\end{matrix}$，$P\{Y=1|X=0\}=0.05$，$P\{Y=1|X=1\}=0.25$，$P\{Y=1|X=2\}=0.70$

故$\begin{matrix} X\setminus Y & 0 & 1 & P\{X=i\}\\0 & 0.76 & 0.04 & 0.80 \\1 & 0.1125 & 0.0375 & 0.15 \\2 & 0.015 & 0.035 & 0.05 \\P\{Y=j\} & 0.8875 & 0.1125 & 1\end{matrix}$

如上表所示，联合分布为第2\~3行、第2\~3列的部分，边际分布为最下行、最右列。

（2）利用公式可得$P(患病人中吸烟)=P\{X=1或2|Y=1\}=\frac{P\{X=1,Y=1\}+P\{X=2,Y=1\}}{P\{Y=1\}}=\frac{0.0375+0.035}{0.1125}=0.6444$

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4 由联合分布律求条件分布律

【例】$(X,Y)$的联合分布律为$\begin{matrix} X\setminus Y & -1 & 0 & 1\\1 & a & 0.2 & 0.2 \\2 & 0.1 & 0.1 & b \\\end{matrix}$，已知$P\{Y≤0|X\lt 2\}=0.5$。求：
（1）$a,b$的值；
（2）$\{X=2\}$条件下$Y$的条件分布律；
（3）$\{X+Y=2\}$条件下$X$的条件分布律。

【解】
（1）由分布律性质知$a+b+0.2+0.2+0.1+0.1=1$，即$a+b=0.4$，又$0.5=P\{Y≤0|X\lt2\}=\frac{P\{Y≤0,X\lt2\}}{P\{X\lt2\}}=\frac{a+0.2}{a+0.4}$，解得$a=0,b=0.4$

（2）$P\{X=2\}=0.6$，利用公式可得$P\{Y=j|X=2\}=\begin{cases} \frac16, & j=-1 \\ \frac16, & j=0 \\ \frac23, & j=1\end{cases}$

（3）当$X=1$时，$Y=1$；当$X=2$时，$Y=0$。故$P\{X+Y=2\}=P\{X=1,Y=1\}+P\{X=2,Y=0\}=0.2+0.1=0.3$

$P\{X=1|X+Y=2\}=\frac{P\{X=1,X+Y=2\}}{P\{X+Y=2\}}=\frac{0.2}{0.3}=\frac23$

$P\{X=2|X+Y=2\}=\frac{P\{X=2,X+Y=2\}}{P\{X+Y=2\}}=\frac{0.1}{0.3}=\frac{1}{3}$

故$P\{X=i|X+Y=2\}=\begin{cases} \frac23, & i=1 \\ \frac13, & i=2 \\\end{cases}$

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5 三角区域内条件概率密度

【例】设二元随机变量$(X,Y)$在区域$\{(x,y):|y| \lt x \lt 1\}$内均匀分布，求条件概率密度$f_{X|Y}(x|y)$及$P\{X\gt \frac23 | Y=\frac12 \}$。

【解】由题意画出区域的图像，可得$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}1, & |y|\lt x\lt 1 \\0, & 其他\end{cases}$

$Y$的边际概率密度为$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\text{d}x=\begin{cases}\int_{|y|}^1\text{d}x=1-|y|, & -1\lt y \lt 1 \\0, & 其他\end{cases}$

给定$y\ (-1\lt y \lt 1)$，$X$的条件概率密度根据公式可得$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，即$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\begin{cases}\frac{1}{1-|y|}, & |y|\lt x \lt 1 \\0, & 其他\end{cases}$

二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布，故$P\{X\gt \frac23 | Y=\frac12 \}=\int_{\frac23}^{\infty}f_{X|Y}(x|\frac12)\text{d}x=\int_{\frac23}^1 \frac{1}{1-\frac12}\text{d}x=\frac23$

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6 求均匀分布随机变量的期望

【例】设$X\sim U(-1,2)$，令$Y=\max\{X,0\}$，求$E(Y)$

【解】由$Y=\max\{X,0\}$可知：当$X≤0$时，$Y=0$；当$X\gt 0$时，$Y=X$

因此当$X>0$时，$f_Y(y)=f_X(x)=\frac13$

故$E(Y)=\int_{0}^{2}yf_Y(y)\text{d}y + 0=\int_{0}^2\frac{y}{3}\text{d}y=\frac23$

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7 解二重积分，求二元期望

【例】设随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{3}{2x^3y^2}, & \frac1x \lt y \lt x, x \gt 1 \\0, & 其他\end{cases}$，求数学期望$E(Y),E(\frac{1}{XY})$

【解】
$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)\text{d}y\text{d}x=\int_{1}^{+\infty}\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{3}{2x^3y}\text{d}y\text{d}x=\frac32 \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^3}\ln y|_{\frac{1}{x}}^x \text{d}x=3\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^3}\text{d}x=-\frac{3}{2} \frac{\ln x}{x^2}|_{1}^{+\infty}+\frac32 \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^3}\text{d}x=\frac34$

$E(\frac{1}{XY})=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{xy} f(x,y)\text{d}y\text{d}x=\int_{1}^{+\infty}\int_{\frac{1}{x}}^{x}\frac{3}{2x^4y^3}\text{d}y\text{d}x=\frac35$

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8 在多条曲线所围成的复杂区域上均匀分布

【例】设随机变量$(X,Y)$在由曲线$y=x^2,y=\frac{x^2}{2},x=1$所围成的区域$G$上均匀分布，求：
（1）$(X,Y)$的概率密度；
（2）边缘概率密度$f_X(x),f_Y(y)$。

【解】

（1）可求得$S_G=\frac16$，故$f(x,y)=\begin{cases} 6, & (x,y)\in G \\0, & 其他\end{cases}$

（2）分别对$f(x,y)$求另一变量的积分可得
$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\text{d}y=\begin{cases}\int_{\frac{x^2}{2}}^{x^2}6\text{d}y=3x^2, & 0 \lt x \lt 1 \\0, & 其他\end{cases}$

$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\text{d}x=\begin{cases}\int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2y}}6\text{d}x=6(\sqrt{2y}-\sqrt{y}), & 0 \lt y \lt 0.5 \\\int_{\sqrt{y}}^{1}6\text{d}x=6(1-\sqrt{y}), & 0.5 ≤ y \lt 1 \\0, & 其他\end{cases}$

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9 根据二元联合概率密度求

【例】设$X,Y$是两个随机变量，它们的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3}{2}\text{e}^{-x(1+y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & 其他\end{cases}$
（1）求$(X,Y)$关于$X$的边缘概率密度$f_X(x)$；
（2）求条件概率密度$f_{Y|X}(y|x)$，并写出当$x=0.5$时的条件概率密度；
（3）求条件概率$P\{Y≥1|X=0.5\}$

【解】

（1）对另一个变量积分即可，即$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\text{d}y=\begin{cases}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{2}\text{e}^{-x(1+y)}\text{d}y=\frac{x^2}{2}\text{e}^{-x}, & x \gt 0 \\0, & 其他\end{cases}$

（2）由题意得，仅当$x>0$时，有$y>0$，故$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\begin{cases}x\text{e}^{-xy}, & y>0 \\0, & 其他\end{cases}$

当$x=0.5$时，$f_{Y|X}(y|x=0.5)=\begin{cases}0.5\text{e}^{-0.5y}, & y>0 \\0, & 其他\end{cases}$

（3）$P\{Y≥1|X=0.5\}=\int_{1}^{+\infty}f(y|x=0.5)\text{d}y=\int_{1}^{+\infty}0.5\text{e}^{-0.5y}\text{d}y=\text{e}^{-0.5}$

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10 Z=max(X, Y)

【例】设随机变量$X,Y$相互独立，它们的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}\frac32\text{e}^{-3x}, & x\gt 0,0 ≤ y ≤ 2 \\0, & 其他\end{cases}$
（1）求边缘概率密度$f_X(x),f_Y(y)$；
（2）求$Z=\max\{X,Y\}$的分布函数；
（3）求概率$P\{\frac12 \lt Z \lt 1\}$

【解】

（1）同前述题型，分别对$f(x,y)$求另一个变量的积分即可
$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\text{d}y=\begin{cases}\int_0^2 \frac32\text{e}^{-3x}\text{d}y=3\text{e}^{-3x}, & x\gt 0 \\0, & 其他\end{cases}$

$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\text{d}x=\begin{cases}\int_0^{\infty} \frac32\text{e}^{-3x}\text{d}x=\frac12, & 0≤y≤2 \\0, & 其他\end{cases}$

（2）由（1）可求得，$F_X(z)=\begin{cases}0, & z≤0 \\\int_{0}^z3\text{e}^{-3x}\text{d}x=1-e^{-3z}, & z\gt 0\end{cases}$，$F_Y(z)=\begin{cases}0, & z\lt 0 \\\int_0^z\frac{1}{2}\text{d}y=\frac{z}{2}, & 0 ≤ z ≤ 2 \\1, & z \gt 2\end{cases}$

故$F_Z(z)=P\{\max\{X,Y\}≤z\}=P\{X≤z,Y≤z\}=P\{X≤z\}P\{Y≤z\}=F_X(z)F_Y(z)=\begin{cases}0, & z\lt 0 \\\frac{z}{2}(1-\text{e}^{-3z}), & 0 ≤ z ≤ 2 \\1-\text{e}^{-3z}, & z \gt 2\end{cases}$

（3）$P\{\frac12 \lt Z ≤ 1\}=F_Z(1)-F_Z(\frac12)=\frac14 - \frac12 \text{e}^{-3}+\frac14 \text{e}^{-\frac32}$

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11 均方极限的唯一性

【例】设$\{X_n,\ n=1,2,\cdots\}$是随机变量序列，$X$是一个随机变量。求证：若$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}X_n = X$，则$X$在概率1下是唯一的。

【证】设另有$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}X_n=Y$，由Schwarz不等式，有

$0≤E|X-Y|^2=E|X-X_n+X_n-Y|^2≤E|X_n-X|^2+E|X_n-Y|^2+2E(|X_n-X|\cdot |X_n-Y|)≤E|X_n-X|^2+E|X_n-Y|^2+2(E|X_n-X|^2)^{\frac12}(E|X_n-Y|^2)^{\frac12}\rightarrow 0\ (n\rightarrow +\infty)$

于是$E|X-Y|^2=0$，故$P\{X=Y\}=1$，即$X$在概率1下是唯一的。

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12 白噪声序列的平稳性

【例】设$\{X_n,\ n=0,\pm 1, \pm 2,\cdots\}$是实的互不相关随机变量序列，且$EX_n=0$，$DX_n=\sigma^2$，试讨论随机序列的平稳性。

【解】因为$EX_n=0$，且有$R_X(n,n-\tau)=E(X_nX_{n-\tau})=\begin{cases} \sigma^2, & \tau=0 \\ 0 & \tau≠0\end{cases}$

随机序列$\{X_n,\ n=0,\pm 1, \pm 2,\cdots\}$的均值均为常数，相关函数仅与$\tau$有关，因此它是平稳随机序列。

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13 宽平稳

【例】令$Z_1,Z_2$为独立的正态随机变量，均值为0，方差为$\sigma^2$，$\lambda$为实数。定义过程$X(t)=Z_1\cos \lambda t + Z_2 \sin \lambda t$。试求$X(t)$的均值函数和协方差函数。它是宽平稳的吗？

【解】由已知得

$E[X(t)]=EZ_1\cos \lambda t + EZ_2 \sin \lambda t = 0$

$R_X(s,t)=\text{cov}(Z_1 \cos \lambda s + Z_2 \sin \lambda s, Z_1 \cos \lambda t + Z_2 \sin \lambda t)=\text{cov}(Z_1,Z_1)\cos \lambda s \cos \lambda t + \text{cov}(Z_2, Z_2) \sin \lambda s \sin \lambda t=\sigma^2\cos \lambda(s-t)$

$R_X(s,t)$只与$s-t$有关，故是宽平稳的。

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14 随机过程的一维概率密度、均值和相关函数

【例】设随机过程$X(t)=Vt+b,\ t\in (0, +\infty)$，$b$为常数，$V \sim N(0,1)$，求$X(t)$的一维概率密度、均值和相关函数。

【解】由$V\sim N(0,1)$得$EV=0,DV=1$，且$X(t)=Vt+b$也服从正态分布，则有$E[X(t)]=E(Vt+b)=tEV+b=b$，$D[X(t)]=D(Vt+b)=t^2DV=t^2$

故$X(t) \sim N(b,^2)$，其一维概率密度为$f(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\text{e}^{-\frac{(x-b)^2}{2t^2}},\ x\in (-\infty,+\infty),\ t\in (0,+\infty)$

均值函数$m_X(t)=E[X(t)]=b$

相关函数$R_X(s,t)=E[X(s)X(t)]=E[(Vs+b)(Vt+b)]=E(stV^2+bsV+btV+b^2)=st+b^2$