本补充材料是对数字信号处理（Digital Signal Processing）中傅里叶变换相关内容的初步介绍与探讨，以更好理解TimesNet中快速傅里叶变换应用的有效性与局限性（以及日后进一步研究），以及模型如何自动发现时间序列中的周期性模式。仅供参考。

1 傅里叶分析

傅里叶分析的核心思想是：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。对于非周期函数，可以通过傅里叶变换将其分解为连续频率的谐波分量。

1.1 傅里叶级数

对于周期为T的周期函数f(t)，其傅里叶级数（Fourier Series）展开为

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)\right]

其中系数计算公式为

a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \text{d}t

a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \text{d}t

b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \text{d}t

1.2 复数形式的傅里叶级数

使用欧拉公式\text{e}^{\text{i}x} = \cos x + \text{i}\sin x，可以得到更简洁的复数形式：

f(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_n \text{e}^{\text{i} \frac{2\pi n t}{T}}

其中系数

c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi n t}{T}} \text{d}t

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2 傅里叶变换

对于非周期函数，引入傅里叶变换（Fourier Transform）将时域（Time Domain）信号变换到频域（Frequency Domain）。傅里叶变换的理论极为复杂，此处仅介绍以下几种。

2.1 连续傅里叶变换

连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）的定义为

F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \text{e}^{-\text{i}\omega t} \text{d}t

逆傅里叶变换则为

f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \text{e}^{\text{i}\omega t} \text{d}\omega

其中\omega = 2\pi f是角频率，相关定义如下：

• 普通频率（Ordinary Frequency）f：单位时间内完成的周期数，单位是赫兹（\text{Hz}）。例如f = 50\text{Hz}表示每秒振动50次。
• 角频率（Angular Frequency）\omega：单位时间内转过的角度（以弧度计），单位是弧度/秒（\text{rad/s}）

2.2 离散傅里叶变换

实际应用中通常处理的是离散时间信号。设x_0, x_1, \cdots, x_{N-1}是N个等间隔采样的数据点，离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）定义为

X_k = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x_n \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{N} k n},\ k = 0, 1, \cdots, N-1

逆离散傅里叶变换为

x_n = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X_k \text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{N} k n},\ n = 0, 1, \cdots, N-1

此处X_k表示频率为\frac{k}{N}倍采样频率的复振幅。

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3 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FTT）是计算离散傅里叶变换的高效算法，由Cooley和Tukey于1965年提出。

3.1 基本原理

FTT的核心思想是分治策略，将DFT分解为更小的DFT。

当N = 2^m（即N是2的幂）时，可以将DFT分解为

X_k = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x_n \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{N} k n} = \sum\limits_{r=0}^{\frac{N}2-1} x_{2r} \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{N} k (2r)} + \sum\limits_{r=0}^{\frac{N}2-1} x_{2r+1} \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{N} k (2r+1)}

令

E_k = \sum\limits_{r=0}^{\frac{N}2-1} x_{2r} \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{\frac{N}2} k r} \quad \text{(偶数点DFT)}

O_k = \sum\limits_{r=0}^{\frac{N}2-1} x_{2r+1} \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{\frac{N}2} k r} \quad \text{(奇数点DFT)}

则原DFT可表示为

X_k = E_k + \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{N} k} O_k

由于E_k和O_k的周期都是\frac{N}2，我们还有：

X_{k+\frac{N}2} = E_k - \text{e}^{-\text{i} \frac{2\pi}{N} k} O_k

由此，一个N点的DFT被分解为两个N/2点的DFT。

3.2 算法复杂度

直接计算DFT：O(N^2)次复数乘法和加法

FFT算法：O(N \log_2 N)次复数乘法和加法

当N = 1024时，FFT比直接DFT快约100倍；当N = 32768时，快约2000倍。

3.3 在TimesNet中的应用

在TimesNet中，FFT用于提取时间序列的周期性，具体步骤对应论文中的公式

\mathbf{A}=\text{Avg}(\text{Amp}(\text{FFT}(\mathbf{X}_{\text{1D}})))

其中相关运算的详细解释如下：

• \text{FFT}(\mathbf{X}_{\text{1D}})：对长度为T的时间序列进行FFT，得到频域表示
• \text{Amp}(\cdot)：计算复数的振幅（模长），即|X_k| = \sqrt{\text{Re}(X_k)^2 + \text{Im}(X_k)^2}，其中\text{Re}(X_k)是实部（Real Part），\text{Im}(X_k)是虚部（Imaginary Part）
• \text{Avg}(\cdot)：在通道维度C上取平均值

在此之后，选择前k个最显著的频率

f_1,\cdots,f_k= \underset{f_*\in \{1,\cdots,[\frac{T}{2}]\}}{\arg\text{Topk}}  (\mathbf{A})

对应的周期长度为

p_1,\cdots,p_k=\left \lceil \frac {T}{f_1} \right \rceil ,\cdots,\left \lceil \frac {T}{f_k} \right \rceil

3.4 频域的对称性

由于实值信号的傅里叶变换具有共轭对称性：

X_{N-k} = X_k^*

其中“^*”表示复共轭。因此振幅谱是对称的：

|X_{N-k}| = |X_k|

这就是为何在TimesNet中只需要考虑频率范围\{1,\cdots,[\frac{T}{2}]\}，避免了冗余计算。

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4 实际计算考虑

4.1 振幅与功率谱

在实际应用中，除了振幅谱外，还常用功率谱：

P_k = |X_k|^2

功率谱更能突出主导频率成分。

4.2 窗函数效应

有限长度的采样相当于对无限长信号加矩形窗，这会引入频谱泄漏。为减少此效应，可在FFT前加窗函数（如汉宁窗、汉明窗）。

TimesNet中直接使用矩形窗，这对于周期性检测通常是足够的。