24考研数二线代部分强化、冲刺阶段重要结论合集（存档）

重要资料：线代基础思维导图2.0.pdf

数学基础系列文章：

• 高等数学（数二强化冲刺笔记）
• 线性代数（数二强化冲刺笔记）
• 概率论与数理统计

参考讲义：

• 李永乐复习全书（线代部分）
• 880

1 行列式计算方法

1.1 加边法

展开定理推论——外围加一圈

1.2 爪型通法

后几列逐渐消去第一列第2行~第n行，a_{11}项变成一个和式，行列式变成上/下三角

1.3 解行列式递推式

D_n+αD_{n-1}+βD_{n-2}=0 —— 二阶差分方程（仅供参考）：

1. 改写递推式为D_{n+2}+αD_{n+1}+βD_{n}=0，将其视作微分方程y''+αy'+βy=0来解
2. 微调通解公式：用r^n替换e^{rx}。其他完全一致

1.4 特征方程行列式转圈化简

1. 顺/逆时针选择没有\lambda的数
2. 化简其他没有\lambda的数
3. 要求产生\lambda的公因子

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2 矩阵·特征值·特征向量重要结论

2.1 AB=O性质

AB=O \Rightarrow

1. r(A)+r(B)≤n
2. B的列向量均为齐次方程Ax=0的解
3. 若A为n阶方阵，则B的非零列向量为A的特征值的特征向量

2.2 求矩阵高次幂

2.2.1 秩为1

因为r(A)=1 \Leftrightarrow A=\alpha \beta^T，其中\alpha为A的极大无关组，β^T由其系数构成

故A^n= \alpha (\beta^T \alpha) (\beta^T ... \alpha) \beta^T=(\beta^T \alpha)^{n-1}\alpha \beta^T

即A^n=tr(A)^{n-1}A

2.2.2 分解+二项式定理

对于3阶矩阵B=\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\ a & 0 & 0\\ c & b & 0\end{bmatrix}，俩数“往角落走”，B^2=\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ ab & 0 & 0\end{bmatrix}，B^3=O，称这种矩阵为幂0矩阵。

故可将该三角矩阵A分解为单位矩阵和幂0矩阵之和： A=E+B。接着使用二项式定理展开可得A^n=(E+B)^n=E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2。

同理对4阶矩阵C=\begin{bmatrix}0 & a & d & f\\ 0 & 0 & b &e \\ 0 & 0 & 0 &c \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}，两两“一步步往角落走”，C^2=\begin{bmatrix}0 & 0 & ab & ab^2c\\ 0 & 0 & 0 &bc \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}，C^3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & abc\\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}，C^4=O。之后同3阶情况展开。

2.2.3 分块

利用分块矩阵乘法

2.2.4 相似/相似对角化

直接求特征值，拼成\Lambda：

由P^{-1}AP=\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)，得 A=P\Lambda P^{-1}

故A^n=P\Lambda P^{-1}...P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^n P^{-1}=P\text{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n,...,\lambda_n^n) P^{-1}

2.3 矩阵可交换

方阵AB=E或BA=E \Leftrightarrow

1. A可逆
2. A可用于求逆B=A^{-1}
3. A,B可交换

A,B可交换的充分条件：

1. B=f(A)，其中f(A)可推广为E,A^{-1},A^*
2. 乘积为线性组合（系数非0）AB=aA+bB\ (ab≠0)
3. 二次方程A^2+aAB=E\ (a≠0)

2.4 广义初等变换与初等矩阵

（对比狭义上的初等变换与初等矩阵定义）

2.4.1 广义初等变换

1. 两行 / 列互换
2. 一行左乘矩阵加到另一行 / 一列右乘矩阵加到另一列
3. 一行左乘可逆矩阵 / 一列右乘可逆矩阵

2.4.2 广义初等矩阵

定义：对分块矩阵\begin{bmatrix} E & O \\ O& E \\ \end{bmatrix}作广义初等变换得到的矩阵。

性质：

1. 广义初等行/列变换相当于左/右乘相应的广义初等矩阵
2. 广义初等矩阵均可逆，故做广义初等变换仍有秩不变
3. 由于行、列变换时矩阵乘法方向不同，故无法同狭义变换一样无条件消元

2.5 行/列满秩矩阵

2.5.1 行满秩

r(A_{m×n})=m

1. 右乘可消去：BA=CA \Rightarrow B=C
2. 右乘秩不变：r(BA)=r(B)
3. A的行向量组无关
4. 非齐次Ax=b有解

2.5.2 列满秩

r(A_{m×n})=n

1. 左乘可消去：AB=AC \Rightarrow B=C
2. 左乘秩不变：r(AB)=r(B)
3. A的列向量组无关
4. 齐次Ax=0只有零解
5. 齐次ABx=0与Bx=0同解

2.6 矩阵方程解法总结

AX=B，X为未知矩阵

2.6.1 逆

应已知A可逆，则X=A^{-1}B

通常法：先求A^{-1}

快法：一起做变换——(A|B) \rightarrow (E|A^{-1}B)

2.6.2 待定系数（2阶）

令X = (x1,x2,x3,x4)^T，将矩阵方程转化为非齐次方程组

2.6.3 分块矩阵

令B=(β_1,β_2,...,β_n)，则Ax=β_i,\ i=1,2,...,n

将(A|B)化为行最简形即得

推广：XA=B \Rightarrow A^TX^T=B^T

解不唯一时，自由变量（左块自由列每行）分别取 k_1,k_2,...,k_n

2.7 各行/列元素之和为…

1. A的各行元素之和为\lambda \Leftrightarrow A(1,1,...,1)^T=\lambda (1,1,...,1)^T \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T为A的特征值\lambda的特征向量
2. A的各列元素之和为\lambda \Leftrightarrow A^T的各行元素之和为\lambda \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T A=\lambda (1,1,...,1)^T

2.8 秩为1性质

r(A)=1，即A=\alpha \beta^T，其中\alpha为A的极大无关组，\beta由其组合系数构成

1. 高次幂：A^n=tr(A)^{n-1}A
2. 特征值：\lambda _1=tr(A),\lambda_2=...=\lambda_n=0
3. 特征向量：
   1. tr(A)≠0：
      • \lambda _1=tr(A),\alpha_1=\alpha（极大无关组）
      • \lambda_2=...=\lambda_n=0，解(A-0E)x=0即\beta^T x=0，得无关特向\alpha_2,...,\alpha_n
   2. tr(A)=0：
      • \lambda_1=...=\lambda_n=0，解(A-0E)x=0即\beta^T x=0，得无关特向\alpha_1,...,\alpha_n
4. A可相似对角化\Leftrightarrow tr(A)≠0

灵活将秩非1矩阵分解为秩为1矩阵！

2.9 实对称矩阵基本求法

求正交矩阵Q：

1. 求A的n个特征值\lambda_1,...,\lambda_n，组成对角矩阵\Lambda
2. 求A的n个无关特向\alpha_1,...,\alpha_n，组成可逆矩阵P
3. 将不同特征值的特向分别Schmidt正交化、单位化得\gamma_1,...,\gamma_n，组成正交矩阵Q

求实对称矩阵A：

1. 已知可逆矩阵P：P^{-1}AP=\Lambda \Rightarrow A=P\Lambda P^{-1}
2. 已知正交矩阵Q：Q^TAQ=\Lambda \Rightarrow A=Q\Lambda Q^T
3. 分解定理：A=Q\Lambda Q^T=\lambda_1\gamma_1\gamma_1^T+...+\lambda_n\gamma_n\gamma_n^T

适用于秩为一的矩阵：r(A)=1，A=tr(A)\gamma_1\gamma_1^T

证明两个同阶实对称矩阵A,B间关系的充要条件：

1. 等价：A\cong B \Leftrightarrow r(A)=r(B)
2. 相似：A\sim B \Leftrightarrow \lambda_A=\lambda_B
3. 合同：A\simeq B \Leftrightarrow A,B的正负惯性指数相同

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3 向量概念题技巧

1. 任何向量都可由包含这个向量的向量组表示。故 “xx可由yyyy线表” 可任意在"xx"中添加"yyyy"中的向量
2. 矩阵与向量相互转化：矩阵按列分块，得到向量；向量组合，得到矩阵
3. 记A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s),B=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t)，若A的列向量可由B的列向量表示，则\exist P,A=BP

“A的列向量” 等价于 “A^T的行向量”

3.1 证明线性无关

3.1.1 定义法

1. 设k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0
2. 根据题设乘或重组，尽量使式子变简单。若不可避免地变复杂了，则对式子进行恒等修缮之后，各个式子相加减，消去重复项，使得式子变简单。
3. 目标：证明k_1=0,k_2=0,...,k_s=0

3.1.2 秩

将向量组转化为齐次方程组的系数矩阵，考察它的秩。

3.1.3 反证法

假设向量组相关，反推出与题设矛盾

3.1.4 正交

非零向量正交必无关

3.2 二级结论：右乘表示系数阵C（B=AC）

设3维向量组\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，向量组\beta_1,\beta_2,\beta_3可由\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，即(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)C，其中矩阵C由表示系数构成。

则有： 向量组\beta_1,\beta_2,\beta_3线性相关\Leftrightarrow |C|≠0

3.3 证明线性表示

1. 构造方程组，证明方程组有解：r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta)
2. 找出两个条件 —— 无关组 + 1 变相关，则 + 1 的可被无关组表。\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s无关，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta相关
3. 证 $k≠0$（证明能表出）
4. 反证法 （证明不能表出）

3.4 证明向量组表示、等价等性质

同时解所有方程组，例：(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\ | \ \beta_1,\beta_2,\beta_3)

二级结论：

1. 多被少表，多必相关
2. 无关被表，个数不多

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4 线性方程组

4.1 方程组同解结论

（基础结论略）

核心：画图！转化成向量组等价思考！

设A=(\alpha_1^T,\alpha_2^T,...,\alpha_m^T)^T,\ B=(\beta_1^T,\beta_2^T,...,\beta_m^T)^T（都用行组表示），两方程组Ax=0,\ Bx=0，则：A的行组可由B的行组线表

• \Leftrightarrow Bx=0的基础解系可由Ax=0的基础解系线表
• \Leftrightarrow Bx=0的解全是Ax=0的解
• \Leftrightarrow r(B)=r(\begin{matrix} A\\B\end{matrix})
• \Leftrightarrow \exist\ C,\ CB=A
• \Rightarrow r(A)≤r(B)

若r(A)=r(B)且 其中一个的解均是另一个的解，则两方程组同解。

推论：

1. A^TAx=0与Ax=0同解，即左乘转置同解
2. 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则Ax=0与(\begin{matrix} A\\B\end{matrix})x=0同解
3. 左乘列满秩同解

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5 二次型

5.1 二次型的求法

5.1.1 选填题

根据形如f=(x_1+ax_2)^2+(bx_2+x_3)^2+(cx_1+x_3)^2的二次型写出对应的矩阵A

1. 通法：直接展开！
2. 快法：按线性变换的形式写出矩阵B（不一定可逆），则有A=B^{\text{T}}B。例如根据上述f的矩阵可得B=\begin{bmatrix} 1 &a &0 \\ 0 & b & 1\\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}，进一步可得A。

5.1.2 解答题

5.1.2.1 拉格朗日配方法

B\simeq A

1. 配方：先x_1配干净，再x_2配干净，以此类推。
2. 令y1,y2,y3=...。反写x_1,x_2,x_3=...，即X=CY，其中必有|C|=1≠0。

经过可逆线性变换X=CY，二次型化为标准型（系数非特征值），变换前后矩阵合同。

5.1.2.2 正交变换法

B \simeq A且B \sim A

1. 求A的特征值
2. 求A的无关特向
3. 正交化、单位化（步骤与正交相似对角化一模一样）

经过正交变换X=QY，二次型化为标准型（系数为特征值），变换前后矩阵相似

注：实对称矩阵必然能正交相似对角化，故两个特征值相同的实对称矩阵可以互相正交相似对角化！进一步，两个二次型可以通过正交变换相互转化！

5.1.2.3 合同变换法

超纲

注：所有的变换均为形如X=□Y的形式，故必要时需多一步反解操作

5.2 合同的判定

1. 惯性相同：对比正、负惯性指数，即正、负特征值个数
2. 实对称矩阵只能与实对称矩阵合同

5.3 二次型最值

方法：规范形放缩

1. 由正交变换x=Qy，得f=x^\text{T}Ax=y^\text{T}(Q^\text{T}AQ)y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2，其中特征值大小关系\lambda_1≤\lambda_2≤\lambda_3
2. 放缩可得\lambda_1y_1^2+\lambda_1y_2^2+\lambda_1y_3^2≤\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2≤\lambda_3y_1^2+\lambda_3y_2^2+\lambda_3y_3^2，即\lambda_1y^\text{T}y≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3y^\text{T}y
3. 由x^\text{T}x=(Qy)^\text{T}(Qy)=y^\text{T}(Q^\text{T}Q)y=y^\text{T}y，故\lambda_1x^\text{T}x≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3x^\text{T}x，之后处理x^\text{T}x即可（“不妨令……”）

可逆线性变换所得的规范形或标准形同理

5.4 拓展：满秩方阵 AAT 性质总结

r(A_{m×n})=m,\ AA^T为m×m方阵

• \Leftrightarrow |AA^T|≠0
• \Leftrightarrow AA^T 可逆
• \Leftrightarrow r(AA^T)=r(A)=m
• \Leftrightarrow AA^T \cong E_{m×m}
• \Leftrightarrow AA^T 行/列向量无关
• \Leftrightarrow 齐次AA^Tx=0只有零解
• \Leftrightarrow 非齐次 AA^Tx=b有唯一解
• \Leftrightarrow AA^T特征值均不为0
• \Rightarrow AA^T 可相似对角化
• \Rightarrow AA^T为实对称矩阵
• \Leftrightarrow AA^T \simeq E
• \Leftrightarrow AA^T 正定